Adil Seçim Sistemi Neden Matematiksel Olarak İmkansız?

Sandığa giderken hepimiz aynı şeyi varsayarız: oylar sayılır, en çok desteklenen tercih kazanır ve meclis halkın iradesini birebir yansıtır. Peki adil seçim sistemi neden matematiksel olarak imkansız deniyor? Çünkü bu üç beklentiyi aynı anda karşılayan bir yöntem yok. Üstelik bu bir kötü niyet ya da hile meselesi değil; ispatlanmış bir matematik sonucu.

Bu yazımızda seçim matematiğinin temel sonuçlarını, 18. yüzyıldaki ilk paradokstan bugünün parlamento tartışmalarına kadar sizler için sade bir dille derledik. Yazının sonunda, oy oranı ile milletvekili sayısı neden uyuşmuyor sorusuna da net bir yanıtınız olacak.

Adil Seçim Sistemi Nedir?

Adil bir seçim sistemi denince aklımıza tek bir kural gelmez. Aslında birbirinden bağımsız birkaç beklentiyi aynı anda kastederiz. Sosyal seçim kuramı (social choice theory) bu beklentileri şöyle sıralar:

• Eşit oy ağırlığı: Her seçmenin oyu sonucu aynı ölçüde etkiler.
• Çoğunluk ilkesi: Daha çok desteklenen seçenek, daha az desteklenene tercih edilir.
• Orantılılık (proportionality): Bir partinin meclisteki sandalye payı, ülke genelindeki oy payına eşittir.
• Bölgesel temsil: Kendi seçim bölgesinde birinci olan aday o bölgenin sandalyesini alır.
• Diktatör olmaması: Tek bir seçmenin ya da grubun tercihi sonucu tek başına belirlemez.
• Stratejiye kapalılık: Seçmen, gerçek tercihini gizleyerek daha iyi bir sonuç elde edemez.

Tek tek bakıldığında hiçbiri abartılı değil. Sorun, bu ilkeleri aynı sistemde birlikte sağlamaya kalktığınızda başlıyor. İşte matematikçilerin iki yüzyıldır uğraştığı düğüm tam olarak burada.

Adil Seçim Sistemi Neden Matematiksel Olarak İmkansız?

Kısa yanıt şu: yukarıdaki ilkeler birbirini keser. Adil seçim sistemi neden matematiksel olarak imkansız sorusunun arkasında tek bir kanıt değil, birbirini tamamlayan bir teorem ailesi var. Bu ailenin üç temel üyesini yakından inceleyelim.

Condorcet Paradoksu: Çoğunluk Kendi İçinde Çelişebilir

1785’te Fransız matematikçi ve düşünür Marquis de Condorcet tuhaf bir durum fark etti. Üç aday ve üç seçmen grubu düşünün. Birinci grup A’yı B’ye, B’yi C’ye tercih ediyor. İkinci grup B’yi C’ye, C’yi A’ya tercih ediyor. Üçüncü grup ise C’yi A’ya, A’yı B’ye tercih ediyor.

İkili karşılaştırma yaptığınızda çoğunluk A’yı B’ye, B’yi C’ye, C’yi de A’ya tercih eder. Yani “çoğunluğun tercihi” halka dönüşür ve hiçbir aday açık kazanan olamaz. Toplumun tercihi, tek tek bireylerin tercihi gibi tutarlı bir sıralama oluşturmaz. Bu döngü, oy sayımına ilişkin bir hata değil; tercih birleştirmenin doğasında olan bir çelişkidir.

Arrow İmkansızlık Teoremi Nedir ve Ne Söyler?

Condorcet’nin fark ettiği çelişkiyi genel bir kanıta dönüştüren isim Kenneth Arrow oldu. Arrow, 1951 tarihli doktora çalışmasında şunu gösterdi: üç veya daha fazla seçenek varsa, makul kabul edilen birkaç koşulu aynı anda sağlayan tek “yöntem” diktatörlüktür. Yani seçmenlerin sıralamalarını toplumsal bir sıralamaya çeviren kusursuz bir kural yoktur. Arrow, sosyal seçim ve refah kuramına yaptığı katkılarla 1972’de Nobel Ekonomi Ödülü’nü John Hicks ile paylaştı.

Arrow imkansızlık teoremi nedir sorusuna verilecek en sade yanıt şudur: her oylama yöntemi, adalet ilkelerinden en az birini ihlal etmek zorundadır. Teoremin koşullarını ve tartışmalarını ayrıntılı biçimde Stanford Felsefe Ansiklopedisi’nin Arrow teoremi maddesinde bulabilirsiniz.

Konuyu hareketli örneklerle izlemek isterseniz, aşağıdaki video teoremi somut oylama senaryolarıyla anlatıyor.

Gibbard–Satterthwaite Teoremi: Stratejik Oy Kaçınılmazdır

1970’lerde Allan Gibbard ve Mark Satterthwaite, Arrow’un sonucunu bir adım ileri taşıdı. Kanıtladıkları şey şuydu: üç veya daha fazla seçeneğin bulunduğu, diktatörlük içermeyen her oylama yönteminde, seçmenin gerçek tercihini gizleyerek daha iyi bir sonuç elde edebileceği bir durum mutlaka vardır.

Bu yüzden “kazanamayacak adaya oy vermeyeyim” refleksi bir seçmen kusuru değildir. Sistemin matematiksel yapısı bu davranışı üretir. Benzer bir imkansızlık, sandalye dağıtımında da karşımıza çıkar: Michel Balinski ve Peyton Young, kota kuralını ihlal etmeyen hiçbir sandalye paylaştırma yönteminin paradokslardan kaçamayacağını gösterdi.

Seçim Sistemlerinde Temsil ve Orantılılık Çelişkisi Nasıl Ortaya Çıkar?

Buraya kadar anlattıklarımız oyların sıralanmasıyla ilgiliydi. Gerçek parlamentolarda ise ikinci bir katman daha var: oyların sandalyeye çevrilmesi. Çoğu ülke bunu iki kademeli (two-tier) bir yapıyla yapar. Önce yerel seçim bölgelerinde sandalyeler dağıtılır, sonra ülke genelindeki dengesizliği düzeltmek için ek sandalyeler devreye girer.

Seçim sistemlerinde temsil ve orantılılık çelişkisi tam olarak bu ikinci katmanda görünür hale gelir. Cambridge Üniversitesi Saf Matematik ve Matematiksel İstatistik Bölümü’nden Frederik Ravn Klausen ile Kopenhag Üniversitesi’nden Sebastian Tim Holdum, bu çelişkiyi bir teoreme dönüştürdü. Annals of Operations Research dergisinde yayımlanan çalışmalarında, iki kademeli seçim sistemleri imkansızlık teoremi diyebileceğimiz bir sonucu kanıtladılar.

Sonuç şöyle özetlenebilir: parti sayısı belirli bir eşiği aştığında, aşağıdaki üç ilkeden en az biri feda edilmek zorundadır.

Klausen’in ifadesiyle bu bir yolsuzluk ya da komplo değil, doğrudan matematiktir. Bir sistem üçünü birden garanti edemez; hangisinden ödün verileceği ise siyasi bir tercihtir. Nitekim iki araştırmacı, bölgesellikten kısmen vazgeçerek diğer iki ilkeyi koruyan “coğrafi sıralamalı garantili orantılılık” adlı bir yöntem de öneriyor.

Üç Ülke, Üç Farklı Ödün: Tarihsel Vakalar

Teoremin soyut görünen sonucu, son yılların seçimlerinde oldukça somut biçimde karşımıza çıktı. Aynı imkansızlık, üç farklı ülkede üç farklı ödünle sonuçlandı.

Danimarka 2022: Orantılılığın 75 Yıl Sonra Bozulması

Danimarka’nın 179 sandalyeli Folketing’i, orantılılığı korumak için tasarlanmış bir sistem kullanır. Sandalyelerin 135’i bölge düzeyinde dağıtılır, 40 tanesi ise dengesizliği düzeltmek üzere ayrılmış “denkleştirme sandalyesidir”.

2022 seçiminde bu tampon yetmedi. Sosyal Demokratlar, bölgelerde oy oranlarının hak ettiğinden bir fazla sandalye kazandı ve kural gereği bu sandalyeyi geri veremedi. Sonuç, 75 yıldır ilk kez orantılılığın bozulması oldu. Üstelik bu sapma kağıt üzerinde kalan bir ayrıntı değildi: tek sandalyelik fark hükümet çoğunluğunu belirledi ve daha az oy alan blok mecliste çoğunluğu kazandı. Araştırmacıların bu konuya yönelmesini tetikleyen olay da tam olarak buydu.

Almanya: Bundestag’ın Büyümesi ve 2023 Reformu

Almanya farklı bir yol seçti. Karma sistemi hem yerel kazananları hem de orantılılığı korumak üzere kurulmuştu. İkisini birden garanti etmenin tek yolu ise meclisi büyütmekti. 598 sandalye için tasarlanan Bundestag, 2021 seçiminden sonra 736 sandalyeye çıktı ve dünyanın en kalabalık seçilmiş parlamentolarından biri haline geldi.

2023’teki seçim yasası reformu bu büyümeyi durdurdu ve meclis 630 sandalyede sabitlendi. Ancak bedeli, üçüncü ilkeden ödün vermek oldu: artık bölgesinde birinci gelen her aday meclise giremiyor. Reformun bazı maddeleri Federal Anayasa Mahkemesi’nin 2024 tarihli kararında ayrıca tartışıldı.

Birleşik Krallık 2024: Dar Bölge Sisteminin En Sert Örneği

Birleşik Krallık (İngiltere) ise orantılılığı hiç garanti etmeyen bir sistem kullanır. Her bölgede en çok oyu alan aday sandalyeyi alır, ülke geneli hesaba katılmaz. 2024 genel seçiminde bunun sonuçları çarpıcıydı: İşçi Partisi oyların yüzde 33,7’siyle 650 sandalyenin 411’ini kazandı. Reform UK ise yüzde 14,3 oy alarak yalnızca 5 sandalye elde etti.

Bu, Birleşik Krallık tarihinin en orantısız seçim sonucu olarak kayda geçti. Sayıların ayrıntısını Avam Kamarası Kütüphanesi’nin 2024 seçim raporunda inceleyebilirsiniz. Oy oranı ile milletvekili sayısı neden uyuşmuyor sorusunun belki de en net örneği budur.

Orantılı Temsil ile Dar Bölge Sistemi Arasındaki Fark Nedir?

Yukarıdaki tabloyu okurken iki büyük sistem ailesini ayırmak işinizi kolaylaştırır. Orantılı temsil ve dar bölge sistemi farkı, hangi ilkenin öncelikli sayıldığıyla ilgilidir.

• Orantılı temsil: Öncelik ülke genelindeki oy payıdır. Küçük partiler meclise girebilir, koalisyon olasılığı yüksektir. Danimarka ve Almanya bu aileye yakındır.
• Dar bölge (çoğunluk) sistemi: Öncelik yerel kazanandır. Tek partili istikrarlı hükümet olasılığı artar, orantılılık ise kolayca bozulur. Birleşik Krallık’ın sistemi buna örnektir.

Hiçbiri diğerinden matematiksel olarak “daha adil” değildir. Her biri farklı bir ilkeyi korur ve farklı bir ilkeden ödün verir. Yani orantılı temsil ve dar bölge sistemi farkı bir üstünlük sıralaması değil, öncelik tercihidir. Uzun süredir çözülemeyen bilimsel bilmecelerin nasıl ele alındığını merak ediyorsanız, Feynman’ın ters fıskiye bilmecesini anlattığımız yazımız da benzer bir düşünme biçimini örnekliyor.

Bu İmkansızlık Demokrasinin Sonu Anlamına mı Geliyor?

Hayır. İmkansızlık teoremleri “seçim yapmayın” demez. Arrow imkansızlık teoremi nedir ve ne söyler sorusuna verilen yanıt da bunu gösterir: teorem, kusursuz bir yöntemin bulunmadığını söyler; oylamanın anlamsız olduğunu değil. Söyledikleri şey daha ölçülüdür: kusursuz bir sistem yoktur, dolayısıyla her sistem bir tercihler bütünüdür. Bir ülke orantılılığı önemsiyorsa meclis büyüklüğünü esnetmek zorunda kalır. Meclisi sabit tutmak istiyorsa yerel temsil garantisinden vazgeçer.

Bu nedenle asıl soru “hangi sistem adil?” değil, “hangi adalet ilkesini öncelemek istiyoruz?” olmalı. Bu bilinç, seçim sonuçlarını okurken komplo arayışının önüne geçer. Matematiksel bir iddianın nasıl sınandığı ve nasıl çürütüldüğü konusuna meraklıysanız, kuantum üstünlüğü iddialarının nasıl çürütüldüğünü incelediğimiz yazımıza göz atabilirsiniz.

Toplumsal eşitliğin bir tasarım kararı olduğunu gösteren tarihsel örnekler de var. Mohenjo-daro’nun eşitlikçi kent yapısını ele aldığımız içeriğimiz, benzer bir tartışmanın 4.000 yıl önceki izlerini sürüyor.

Sonuç: Adil Seçim Arayışı Nereye Gidiyor?

Adil seçim sistemi neden matematiksel olarak imkansız sorusunun yanıtı, iki yüzyıllık bir birikimde saklı. Condorcet çoğunluğun kendi içinde çelişebileceğini gösterdi, Arrow bunu genel bir teoreme dönüştürdü, Gibbard ile Satterthwaite stratejik oyun kaçınılmaz olduğunu kanıtladı. Klausen ve Holdum’un iki kademeli seçim sistemleri imkansızlık teoremi ise tartışmayı doğrudan parlamento aritmetiğine taşıdı.

Geriye kalan, umutsuzluk değil; daha bilinçli bir tasarım tartışması. Seçim sistemlerinde temsil ve orantılılık çelişkisini bilen bir seçmen, sonuçları çok daha isabetli okur.

Eğer bu tarz matematik ve bilim içerikleri ilginizi çekiyorsa, sitemizde yer alan “Google Adı Nereden Geliyor? Googol Hikayesi” adlı yazımıza da göz atabilirsiniz.